Προτεινόμενοι Σύνδεσμοι:    greece   -   greece hotels   -   ειδησεις   -   greece news   -   ταβλι στο internet   -   livescore   -   νέα
 easypedia

Easypedia.gr
Ελλάδα
Αρχαία Ελλάδα
Ελληνες
Πρωθυπουργοί
Οικονομία
Γεωγραφία
Ιστορία
Γλώσσα
Πληθυσμός
Μυθολογία
Πολιτισμός & Τέχνες
Ζωγραφική
Θέατρο
Κινηματογράφος
Λογοτεχνία
Μουσική
Αρχιτεκτονική
Γλυπτική
Αθλητισμός
Μυθολογία
Θρησκεία
Θετικές & Φυσικές Επιστήμες
Ανθρωπολογία
Αστρονομία
Βιολογία
Γεωλογία
Επιστήμη υπολογιστών
Μαθηματικά
Τεχνολογία
Φυσική
Χημεία
Ιατρική
Φιλοσοφία & Κοινωνικ. Επιστήμες
Αρχαιολογία
Γλωσσολογία
Οικονομικά
Φιλοσοφία
Ψυχολογία
Γεωγραφία
Ασία
Αφρική
Ευρώπη
Πόλεις
Χώρες
Θάλασσες
Ιστορία
Ελληνική Ιστορία
Αρχαία Ιστορία
Βυζάντιο
Ευρωπαϊκή Ιστορία
Πόλεμοι
Ρωμαϊκή Αυτοκρατορία
Σύγχρονη Ιστορία
 

Δευτεροβάθμια εξίσωση

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια

Στα μαθηματικά, δευτεροβάθμια εξίσωση ονομάζεται κάθε πολυωνυμική εξίσωση δευτέρου βαθμού. Η γενική μορφή μιας δευτεροβάθμιας εξίσωσης είναι:

\alpha x^2+ \beta x+ \gamma =0,\,

όπου τα γράμματα α, β και γ παριστάνουν σταθερούς αριθμούς, με

\alpha\ne 0 \,

Οι σταθερές α, β και γ ονομάζονται συντελεστές, με το α να είναι ο συντελεστής του x2, το β να είναι ο συντελεστής του x και γ ο σταθερός όρος. Οι συντελεστές μπορεί να είναι πραγματικοί ή μιγαδικοί αριθμοί.

Πίνακας περιεχομένων

Λύσεις δευτεροβάθμιας εξίσωσης

Κάθε δευτεροβάθμια εξίσωση έχει δύο λύσεις (ή διαφορετικά ρίζες) στο πεδίο των μιγαδικών αριθμών που μπορεί να είναι είτε διαφορετικές είτε ίσες (οι δύο λύσεις συμβολίζονται εδώ με x_+ \ και x_- \ ). Οι λύσεις μιας δευτεροβάθμιας εξίσωσης μπορούν να βρεθούν με τον τύπο:

x_\pm= \frac{-\beta \pm \sqrt {\beta^2 - 4\alpha \gamma}}{2\alpha}

Διακρίνουσα

Παράδειγμα μηδενικής διακρίνουσας και θετικών ή αρνητικών προσήμων:■ <0: x2+1⁄2■ =0: −4⁄3x2+4⁄3x−1⁄3■ >0: 3⁄2x2+1⁄2x−4⁄3
Παράδειγμα μηδενικής διακρίνουσας και θετικών ή αρνητικών προσήμων:
<0: x2+12
=0: −43x2+43x13
>0: 32x2+12x43

Η παράσταση Δ = β2 − 4αγ ονομάζεται διακρίνουσα (σύμβολο Δ) της εξίσωσης και λέγεται έτσι γιατί χρησιμοποιείται για να διακρίνουμε τρεις ποιοτικά διαφορετικές περιπτώσεις λύσεων τις εξίσωσης. Όταν οι συντελεστές α,β και γ είναι όλοι πραγματικοί αριθμοί, διακρίνουμε τις πιο κάτω περιπτώσεις:

  • Η διακρίνουσα είναι θετική.

Η εξίσωση έχει δύο λύσεις διαφορετικές και οι δύο πραγματικές. Γεωμετρικά αυτά σημαίνει ότι η παραβολή που αντιστοιχεί στην εξίσωση τέμνει τον άξονα των x σε δύο σημεία. Επιπλέον, αν οι συντελεστές είναι ακέραιοι και η διακρίνουσα εκτός από θετική είναι και τέλειο τετράγωνο, οι λύσεις της εξίσωσης είναι και οι δύο ρητοί αριθμοί και η εξίσωση μπορεί να αναλυθεί σε γινόμενο δύο παραγόντων. Οι δύο πραγματικες λύσεις είναι οι:

x_+= \frac{-\beta + \sqrt {\beta^2 - 4\alpha \gamma}}{2\alpha} , και
x_- = \frac{-\beta - \sqrt {\beta^2 - 4\alpha \gamma}}{2\alpha}
  • Η διακρίνουσα είναι ίση με μηδέν.

Η εξίσωση έχει μια διπλή ρίζα που είναι επιπλέον και πραγματική. Γεωμετρικά αυτό σημαίνει ότι η παραβολή αγγίζει (καλύτερα εφάπτεται) τον άξονα των x σε ένα σημείο. Αυτό συμβαίνει γιατί αν η διακρίνουσα είναι μηδέν η τετραγωνική ριζα που έχει μπροστά της το +/- εξαφανίζεται και παραμένει έτσι μία μόνο λύση, η οποία είναι η:

x = -\frac{\beta}{2\alpha} \
Μια δευτεροβάθμια εξίσωση με διακρίνουσα μηδέν μπορεί να παραγοντοποιηθεί σε τέλειο τετράγωνο.
  • Η διακρίνουσα είναι αρνητική.

Η εξίσωση δεν έχει λύση στο σύνολο των πραγματικών αριθμών \R.

Ωστόσο, έχει δύο διαφορετικές λύσεις που είναι και οι δύο μιγαδικοί αριθμοί. Επιπλέον οι δύο λύσεις είναι μεταξύ τους συζυγείς μιγαδικές. Γεωμετρικά αυτό σημαίνει ότι η παραβολή ούτε τέμνει ούτε εφάπτεται του άξονα των x, για την ακρίβεια δεν έχει κανένα κοινό σημείο με αυτόν. Αν βγάλουμε ως κοινό παράγοντα από την τετραγωνική ρίζα το  i = \sqrt{-1} τότε οι δύο συζυγείς λύσεις είναι οι:

x_+ = \frac{-\beta + i\sqrt {4\alpha \gamma - \beta^2}}{2\alpha} , και
x_- = \frac{-\beta - i\sqrt {4\alpha \gamma - \beta^2}}{2\alpha}
Μια δευτεροβάθμια εξίσωση με διακρίνουσα αρνητική δεν μπορεί να παραγοντοποιηθεί.

Απόδειξη με συμπλήρωση τετραγώνου

Θέλουμε να φέρουμε την εξίσωση \alpha x^2+ \beta x+ \gamma =0\quad  στη μορφή (ax + b)2 = c ώστε να είναι πιο εύκολο να λυθεί. Aρχικά εξετάζουμε τους όρους με x2 και x και τους χωρίζουμε από τη σταθερά γ: \alpha x^2+ \beta x+ \gamma =0\quad \iff\quad \alpha \left(x^2 +\frac{\beta}{\alpha} x\right)=-\gamma\qquad\qquad (1)

Κατόπιν προσθαφαιρούμε στο αριστερό μέλος της εξίσωσης κατάλληλη σταθερά, ώστε να «συμπληρωθεί» το τετράγωνο:

(1)\quad \iff\quad \alpha \left(x^2 +2\frac{\beta}{2\alpha}x+\frac{\beta^2}{4\alpha^2}-\frac{\beta^2}{4\alpha^2}\right)=-\gamma \iff\quad \alpha \left(x +\frac{\beta}{2\alpha}\right)^2-\,\alpha\left(\frac{\beta^2}{4\alpha^2}\right)=-\gamma\qquad\qquad (2)

και φέρνουμε τη σταθερά στο δεξί μέρος

(2)\quad \iff\quad  \alpha \left(x +\frac{\beta}{2\alpha}\right)^2=\frac{\beta^2}{4\alpha}-\gamma
\quad \iff\quad  \alpha \left(x +\frac{\beta}{2\alpha}\right)^2=\frac{\beta^2-4\alpha\gamma}{4\alpha}\qquad\qquad (3)

Φέρνουμε στο αριστερό μέρος όλα τα μεγέθη που μπορούν να γραφούν ως τετράγωνο

(3)\quad \iff\quad  (2\alpha)^2 \left(x +\frac{\beta}{2\alpha}\right)^2=\beta^2-4\alpha\gamma
\quad \iff\quad   \left(2\alpha x +\beta\right)^2=\beta^2-4\alpha\gamma\qquad\qquad (4)

Το δεξί μέρος της εξίσωσης ονομάζεται διακρίνουσα Δ = β2 − 4αγ. Οπότε έχουμε φέρει την εξίσωση στη μορφή που θέλουμε και συγκεκριμένα:

\left( 2\alpha x +\beta\right)^2=\Delta

Επειδή κάθε πραγματικός αριθμός υψωμένος στο τετράγωνο είναι μη αρνητικός (αριστερό μέρος της εξίσωσης), η διακρίνουσα (δεξί μέρος της εξίσωσης) πρέπει να είναι και αυτή μη αρνητικός αριθμός, \Delta\geq 0, για να έχει η εξίσωση λύση στους πραγματικούς. Σε αυτή την περίπτωση ισχύει:

2\alpha x +\beta=\pm \sqrt{\Delta}\quad \iff\quad x=\frac{-\beta\pm \sqrt{\Delta}}{2\alpha}.

Οι τύποι του Βιετά

Οι τύποι του Βιετά (François Viète) δίνουν απλές σχέσεις μεταξύ των ριζών ενός πολυωνύμου και των συντελεστών του. Στην περίπτωση των δευτεροβάθμιων εξισώσεων παίρνουν την ακόλουθη μορφή:

 x_+ + x_- = -\frac{\beta}{\alpha} , και
 x_+ \cdot x_- = \frac{\gamma}{\alpha}

Αν συμβολίσουμε με S το άθροισμα των ριζών μιας δευτεροβάθμιας εξίσωσης και με P το γινόμενό τους τότε κάθε δευτεροβάθμια εξίσωση γράφεται και ως εξής:

 x^2-Sx+P=0 \

όπου

 S = x_+ + x_- = -\frac{\beta}{\alpha} , και
 P = x_+ \cdot x_- = \frac{\gamma}{\alpha}